¿Quién está detrás de las tablas matemáticas?

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Imaginemos estudiar física, ingeniería, arquitectura y muchas otras materias de ciencias sin calculadoras ni ordenadores. Quizá alguna de nosotras, alguno de nosotros, haya utilizado tablas matemáticas en alguna ocasión. Ese era el único recurso antes de calculadoras y pantallas.  Es probable que no nos hayamos planteado quién o quiénes están detrás de esas tablas tan organizadas y precisas.

En realidad han sido muchas las personas que han trabajado en su elaboración, desde la Antigüedad hasta hace muy poco, y sus métodos de cálculo para obtener resultados han sido y siguen siendo indispensables para el desarrollo de la ciencia. Hace unas décadas, estas calculadoras humanas producían las aproximaciones de funciones complejas que obtenían a partir de operaciones simples y, no pocas veces, tediosas. Lo llamativo es que muchas de esas personas no contaban necesariamente con una elevada formación matemática.

Página 97 del Handbook of Mathematical Functions (primera edición, 1964) mostrando una tabla de logaritmos.
Wikimedia Commons.

Un ejemplo de la elaboración de tablas matemáticas es el Handbook of Mathematical Functions, un enorme proyecto de colaboración, una de las pocas actividades científicas de la década de 1950 dirigida por una mujer. En la portada de los volúmenes aparecen dos personas: Milton Abramowitz (1913-1958) e Irene Stegun (1919–2008).

Inicialmente, estos dos matemáticos compartían tareas editoriales. Abramowitz preparó la maqueta del libro, redactó material preliminar y reclutó al primer grupo de colaboradores. Su papel terminó en un caluroso día de verano de 1958, cuando decidió cortar el césped de su casa en los suburbios de Washington. Un ataque al corazón lo fulminó, dejando a Stegun como única editora.

Irene necesitó siete años para publicar el manual. Tuvo que reclutar a personas que quisieran trabajar en él, tranquilizar a los autores que ya estaban comprometidos con el proyecto y editar los manuscritos de cada capítulo. También tuvo que asegurarle a la División de Matemáticas Aplicadas de la Oficina Nacional de Estándares (el actual NIST, Instituto Nacional de Estándares y Tecnología) que el libro se terminaría según lo planeado. El manual se había diseñado como un proyecto de investigación independiente financiado por la Fundación Nacional para la Ciencia, pero la Oficina Nacional de Estándares había acordado supervisar el proyecto y editar el manuscrito final. Tanto Irene Stegun como Milton Abramowitz habían sido miembros fundadores de la División de Matemáticas Aplicadas de la oficina, creada en 1948.

Pero vayamos al origen: en 1937, mientras Irene Stegun estudiaba matemáticas en Nueva York, Estados Unidos intentaba «mantener la cabeza fuera del agua» durante el octavo año de la Gran Depresión. En uno de sus muchos esfuerzos por revertir la situación económica del país, la administración de Franklin D. Roosevelt creó la Works Progress Administration (WPA) con el fin de poner a los desempleados a trabajar en obras de interés público. En 1937, la WPA había contratado casi al 3 % de toda la población estadounidense. Los trabajadores de WPA construyeron aeropuertos y bibliotecas, parques y aceras, auditorios y oficinas de correos. Cosieron ropa, escribieron guías, reorganizaron los registros estatales, asfaltaron las carreteras y rebuscaron en vertederos de basura en busca de metal y otros recursos valiosos.

Había cuatro mil proyectos científicos entre los programas de la WPA. La mayor parte de ellos se ocuparon de cuestiones relacionadas con las crisis sociales y económicas de la década de 1930, pero un tercio incluía estudios en química física, geología, anatomía, oceanografía, meteorología y física de partículas.

Calculadoras humanas trabajando en la WPA.

La WPA organizó el Proyecto de Tablas Matemáticas en el otoño de 1937. Estaba pensado para emplear a 450 trabajadores como computadoras humanas, personas que realizaran cálculos matemáticos a mano. Usando sólo papel y lápiz, estos trabajadores recibieron instrucciones para crear enormes tablas muy precisas de funciones matemáticas: exponenciales, logaritmos naturales y decimales, funciones trigonométricas, hiperbólicas, funciones de probabilidad, funciones gamma, elípticas y de Bessel, etc.

La unidad de Tablas Matemáticas ocupaba el último piso de un edificio industrial medio derruido en la Hell’s Kitchen, un barrio de clase trabajadora de Nueva York. Todas las personas computadoras del proyecto procedían de las listas de asistencia social de la ciudad y estaban muy empobrecidas. La mayoría llevaba desempleada al menos un año. Solo unas pocas habían asistido a la escuela secundaria. Aproximadamente el 20 % de ellas eran víctimas de la poliomielitis, amputadas o con diferentes discapacidades. Otro 20 % de estas personas que hacían cálculos eran afroamericanas. El proyecto también contaba con un gran número de trabajadores judíos e irlandeses de los barrios adyacentes. El 45 % de las personas calculadoras eran mujeres que mantenían a sus familias.

Para dirigir, coordinar y asesorar a tan variopinto grupo eran necesarios matemáticos. La WPA se puso en contacto con los departamentos de matemáticas de la Universidad de Columbia y de la Universidad de Nueva York para que asumieran esos papeles pero éstos se negaron porque no veían la utilidad del proyecto. La WPA también se dirigió al Consejo Nacional de Investigación en Washington y solicitó un comité asesor para el proyecto, pero tras algunos borradores esa colaboración tampoco cuajó.

Finalmente, la WPA gestionó el Proyecto de Tablas Matemáticas con personas que provenían de los márgenes de la comunidad matemática, personas que carecían de doctorado, que estaban desempleadas o que no eran consideradas científicas «de verdad» por no seguir las trayectorias convencionales de la academia y de la comunidad científica. Para dirigir el grupo, contrataron a Arnold Lowan, un ingeniero químico rumano que había obtenido su doctorado en física en Columbia en 1934 pero no había encontrado un trabajo permanente. Cuando la WPA lo descubrió, daba clases a tiempo parcial en dos universidades de Nueva York. Se decidieron por él porque en su tesis había utilizado un cálculo extenso que involucraba transformadas de Laplace. Su primer ayudante fue Milton Abramowitz, que estudiaba por entonces un Máster en Física en el Brooklyn College. En ese momento, Abramowitz no tenía experiencia ni en matemáticas aplicadas ni en cálculo numérico.

Gertrude Blanch.

Su segunda asistente, Gertrude Blanch, obtuvo un doctorado en matemáticas por la Universidad de Cornell. Después de terminar su carrera, encontró muchas barreras profesionales, ya que pocos trabajos matemáticos estaban abiertos a las mujeres. Para poder subsistir, había aceptado un empleo como directora de oficina en Manhattan. Arnold Lowan la descubrió en 1937 en un curso vespertino de física en el Brooklyn College. Aunque Blanch no tenía experiencia en matemáticas aplicadas, Lowan le pidió que fuera la directora del proyecto y la presidenta del Comité de Planificación. Ella pensó que este Proyecto de Tablas Matemáticas podría ser su única oportunidad para ser una matemática en ejercicio, y renunció a su trabajo en un edificio de oficinas «bien equipado» para comenzar a trabajar en un viejo escritorio en el local destinado a la elaboración de tablas.

Así se iniciaron las operaciones, con Blanch, Abramowitz y William King, un estudiante de posgrado. Durante los diez años de historia del Proyecto de Tablas Matemáticas, quince personas formaron parte del comité organizador. La mayoría de ellas solo tenía títulos de máster. Cuatro eran mujeres: además de Blanch, estaban Ida Rhodes, una inmigrante rusa que tenía un Máster en Matemáticas por Cornell; Jenny Rosenthal, lituana con un doctorado en Física de la Universidad de Nueva York; e Irene Stegun. Ésta, la última mujer en unirse al comité, llegó en 1943 con un máster de Columbia. Al igual que Blanch y Lowan, estaba «desesperada por conseguir un empleo fijo». Había dado clases a tiempo parcial en una escuela secundaria católica, pero acababa de recibir la noticia de que la escuela no podía ofrecerle un trabajo remunerado durante el siguiente año.

Se ocuparon algunas oficinas en una esquina del amplio piso de computación del proyecto. Y desde esa esquina, supervisaron a las 450 calculadoras humanas. La mayoría de éstas no tenían formación matemática. Muchas no sabían hacer una división y para algunas, los números negativos eran perfectos desconocidos. El personal de planificación dirigió a las computadoras humanas con hojas de trabajo que imprimieron con un mimeógrafo, similar a una multicopista. En estas hojas de trabajo, redujeron los cálculos a operaciones simples, a sucesiones de sumas repetidas, siempre que era posible. Para ayudar a las calculadoras humanas en las operaciones aritméticas más difíciles, colocaron carteles en la pared que explicaban cosas como las propiedades de los números negativos.

Como coordinadora del Comité de Planificación, Gertrude Blanch dirigió la elaboración de las hojas de trabajo. Para cada función matemática de la lista asignó a una persona que indicara los pasos a seguir con una exhaustiva dedicación previa a lo que llamaron «arqueología matemática». Esto implicaba pasar horas y horas en la biblioteca de la United Engineering Society, para buscar en revistas científicas antiguas, ejemplos de tablas, ecuaciones y procedimientos computacionales (métodos numéricos). Encontraron maravillosos tesoros en revistas de astronomía, agricultura, ingeniería eléctrica, ingeniería civil, óptica, física aplicada, balística y matemáticas. En los primeros años del proyecto se utilizaron solo los métodos más simples de análisis numérico: series de Taylor y aproximaciones polinómicas.

En un inicio, el Proyecto de Tablas Matemáticas fue tratado con cautela por la comunidad científica: un proyecto que sonaba a «caridad hacia los pobres» no podía producir un trabajo útil. Los científicos debían ser personas inteligentes y con un cierto éxito en su carrera. Los desempleados, afirmaron, no tenían ese bagaje ni eran demasiado brillantes, por lo tanto, no podían ser científicos; ¡ni mucho menos científicas! Un comité del Consejo Nacional de Investigación denunció la existencia del Proyecto de Tablas Matemáticas y sugirió que el consejo no debería apoyar al grupo. Además, opinaban que eran muchos y muchas trabajando para producir tablas demasiado exhaustivas en sus resultados, demasiados decimales en sus datos, más de los necesarios para una futura aplicación. Sin embargo, después de que el proyecto comenzó a publicarse, los científicos tuvieron que reconocer que la organización la componían personas meticulosas y disciplinadas que producían cálculos muy precisos y fiables.

Se afirmaba que cada volumen estaba completamente libre de errores y las precauciones tomadas parecen darle un peso considerable a esta afirmación. La referencia estándar de erratas de tablas matemáticas enumera nueve errores de cálculo en aproximadamente 610 000 valores en estos dos libros.

En diciembre de 1942, Franklin D. Roosevelt anunció que la WPA ya no era necesaria y que sería cancelada «con una baja honorable»; la mayoría de los proyectos simplemente se liquidaron. Sin embargo, el Proyecto de Tablas Matemáticas se salvó de este destino gracias a la Armada, que necesitaba personal informático de forma urgente para su sistema de navegación por radio LORAN. Emplearon casi cincuenta computadoras humanas y un miembro del Comité de Planificación, Milton Abramowitz.

Irene Stegun.

Durante esta transición del papel a los cálculos necesarios para los recientes ordenadores, Irene Stegun se incorporó a la parte del proyecto que trabajaba para el Panel de Matemática Aplicada. En concreto, con sus tablas matemáticas tuvo el alcance más grande de cualquier organización informática, ya que operaba en laboratorios de computación en la Universidad de Columbia, la Universidad de Nueva York, la Universidad de California, Princeton, la Universidad de Brown y el Instituto Franklin. La mayoría de estos centros eran pequeños, consistían típicamente de seis a diez estudiantes o recién graduados, y trabajaban en un solo grupo de problemas. El Proyecto de Tablas Matemáticas hizo cálculos para explosivos, artillería, bombardeo, propagación de ondas, radar, control de calidad, campos eléctricos y temas similares.

La guerra trajo un nuevo nivel de sofisticación matemática a los coordinadores de las Tablas: los expuso a nuevos tipos de problemas más allá de la aproximación de funciones y les enseñó nuevos métodos de cálculo. Jerzy Neyman, de la Universidad de California, pidió cálculos de probabilidad. El Laboratorio de Radiación del MIT quería estimaciones de la propagación de microondas. La Marina solicitó la solución de un incómodo problema de refracción. Las calculadoras aprendieron aproximaciones de fracciones continuas, recursiones, nuevas formas de expansiones polinómicas. Se iniciaron ocho cursos de formación, impartidos durante la hora del almuerzo. Ida Rhodes se hizo cargo de los cursos más elementales, dedicados a las propiedades básicas de aritmética y álgebra. El segundo nivel de cursos se dedicó al cálculo diferencial e integral. El tercer nivel, impartido por Gertrude Blanch, se diseñó para aclarar los conceptos básicos del análisis numérico. Al menos una de las computadoras humanas, Ruth Zucker, completó los ocho cursos y dominó las matemáticas lo suficiente como para convertirse en asistente del Comité de Planificación.

Al final de la guerra, la mayoría de los grandes proyectos de investigación, incluido el Laboratorio de Radiación del MIT y el Proyecto Manhattan, habían utilizado los servicios de este grupo. Para entonces, el Proyecto de Tablas Matemáticas ya no se consideraba una actividad de caridad. Los miembros superiores del panel creían que el grupo era un servicio informático potente y fiable que proporcionaba un trabajo útil en los años previos a la eficacia real de los nuevos ordenadores.

Se pensó que el Comité de Planificación serviría como personal de programación para uno de los nuevos centros de computación. Sin sus calculadoras humanas, los miembros del comité crearían tablas usando las nuevas máquinas en las horas de la tarde. A principios de 1947, se anunció que el Proyecto de Tablas Matemáticas se trasladaría a Washington DC y se llamaría Laboratorio de Computación. Cuando los dos líderes principales se negaron a mudarse a Washington con el Proyecto de Tablas Matemáticas, Abramowitz y Stegun tomaron las riendas de los trabajos. Estaban confeccionados ya veintiocho volúmenes que las calculadoras humanas habían producido durante la década anterior.

La mayoría de los expertos en cálculo científico creían que las tablas matemáticas tenían sus días contados. Se pensaba que para 1950 estarían obsoletas y que las computadoras humanas serían descartadas y sustituidas por ordenadores. Esta profecía parecía obvia para muchos, ya que casi una docena de laboratorios estaban construyendo ordenadores, pero la cosa no salió como se predijo. En 1950, solo un puñado de científicos de élite manejaban sus cálculos con estos ordenadores. La mayoría de los investigadores todavía confiaba en los humanos para procesar los números. Esto fue una realidad clara en la Oficina Nacional de Estándares. La unidad había completado un nuevo ordenador llamado SEAC, pero seguía necesitando los servicios de su Laboratorio de Computación, que pasó días preparando tablas, como lo había hecho para la WPA.

El Manual de funciones matemáticas se publicó en 1964, el mismo año en que se lanzó la familia de ordenadores IBM S/360. El manual «seguramente se convertirá en un clásico» escribió el revisor de la primera edición, en 1966. Las inquietudes acerca de la calidad del libro se combinaron con preguntas sobre el lugar del libro dentro de la estructura general de la ciencia. En la era de los ordenadores, ¿cuál es el lugar de un libro de tablas? Por su propia naturaleza, el Manual de Funciones Matemáticas se ubicaba entre los límites de varias disciplinas de las décadas de 1950 y 1960. Era un libro de ecuaciones y funciones matemáticas, pero no contenía ninguna de las generalizaciones y pruebas que se asocian con las matemáticas del siglo XX. El libro fue muy útil para físicos, químicos e ingenieros, pero esos investigadores lo vieron como una ayuda para el cálculo más que como una referencia dentro de sus propias disciplinas. Una pequeña fracción de científicos de la computación reconoció el libro como parte de su literatura básica, aunque esa minoría se redujo a finales de la década de 1950, cuando la ciencia de la computación buscaba problemas más allá de la evaluación de funciones y la resolución de ecuaciones diferenciales. Desde una perspectiva actual, podemos argumentar que el Manual es un trabajo de matemáticas aplicadas; sin embargo, en la década de 1950, las matemáticas aplicadas eran un campo reciente. Durante la elaboración de las Tablas, desde 1954 hasta 1964, los matemáticos aplicados establecieron instituciones independientes de las matemáticas, la física y la ingeniería eléctrica.

El Manual vio la luz en medio de estos cambios dentro de la Oficina Nacional de Estándares. Hemos sacado a la luz el nombre de muchas mujeres: Zucker, Blanch, Stegun y otras como Lucy Slater, Emily Haynsworth, Sally Peavy. Todas ellas habían trabajado para el Proyecto de Tablas Matemáticas o su continuación, el Laboratorio de Computación. Su alto porcentaje entre los colaboradores subraya la idea de que las matemáticas aplicadas eran un campo poco organizado y sin una jerarquía plenamente establecida, lo que favorecía la incorporación de mujeres a este ámbito. Los éxitos tanto de Stegun como de Blanch muestran que las mujeres lograban cierta prominencia; no obstante, estas dos trayectorias profesionales ponen de manifiesto los desafíos que las mujeres científicas encontraron a mediados de las décadas del siglo XX, al menos para promocionar en sus carreras, era como si no pudieran hacer otra cosa y quedaran pegadas al suelo de los cálculos matemáticos, tuvieran la formación que tuvieran y defendieran las tesis que defendieran.

La guerra trajo algunas oportunidades científicas nuevas para las mujeres, pero cuando terminó, también se terminaron estas magníficas oportunidades. Irene Stegun pudo mantener su trabajo porque, en parte, no estaba «calentando la silla» hasta que un hombre que volviera del frente la ocupara de nuevo, según las palabras de la historiadora Margaret Rossiter. Además, el gobierno estadounidense se había interesado repentinamente en la informática y los laboratorios gubernamentales se encontraban entre los pocos lugares que contrataban mujeres como científicas. Stegun ascendió a la dirección del Manual con el apoyo de un colega masculino y terminó el proyecto en un momento en que el gobierno estadounidense otorgaba más publicidad a sus científicas. Gran parte de esta nueva visibilidad provino de los esfuerzos del presidente Lyndon Johnson, a quien Rossiter describe como «un defensor del avance de la mujer».

La exdirectora de Stegun, Gertrude Blanch, capta mejor la nueva visibilidad de las científicas a principios de la década de 1960. Para entonces, era la matemática principal del Laboratorio de Investigación Aeroespacial en Dayton, Ohio. Blanch había sido identificada como una científica importante dentro de la Fuerza Aérea.

Irene Stegun no fue tan visible como Blanch, aunque fue reconocida dentro de la Oficina Nacional de Estándares por su trabajo en el Manual de Funciones Matemáticas y por sus contribuciones a otros proyectos de investigación dentro del cálculo matemático. Su mayor honor es el hecho de sacar adelante una de las obras de literatura científica de mayor circulación del siglo XX.

El Instituto Nacional de Estándares y Tecnología estima que se han vendido más de un millón de copias del Manual. A principios del siglo XXI, más de cuarenta años después de su publicación, el libro recibía aproximadamente 1 500 citas al año en el Science Citation Index. Ha sido traducido al alemán, ruso y chino. Fue el resultado de la carrera de una mujer que comenzó con un Máster, un certificado de enseñanza y un proyecto para rescatar desempleados, una carrera profesional que creció con la aplicación de las matemáticas, con las necesarias matemáticas aplicadas.

Referencias

Sobre la autora

Marta Bueno Saz es licenciada en Física y Graduada en Pedagogía por la Universidad de Salamanca. Actualmente investiga en el ámbito de las neurociencias.

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[…] Imaginemos estudiar física, ingeniería, arquitectura y muchas otras materias de ciencias sin calculadoras ni ordenadores. Quizá alguna de nosotras, alguno de nosotros, haya utilizado tablas matemáticas en alguna ocasión.  […]

[…] Imaginemos estudiar física, ingeniería, arquitectura y muchas otras materias de ciencias sin calculadoras ni ordenadores. Quizá alguna de nosotras, alguno de nosotros, haya utilizado tablas matemáticas en alguna ocasión. Ese era el  […]

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