Emmy Noether, madre del álgebra abstracta

Introducción

En la Universidad de Michigan, donde me especialicé en la teoría de los números algebraicos y escribí la tesis, todos los estudiantes de doctorado teníamos una lista, supuestamente secreta, de héroes matemáticos a los que admirábamos con verdadera pasión. En todas las listas aparecía el nombre de Emmy Noether, en muchas de ellas, la mía incluida, a la cabeza.

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Amalie Emmy Noether (1882-1935) fue una de las grandes mentes matemáticas del siglo XX. Considerada la madre del álgebra abstracta, sus trabajos abrieron caminos nuevos que marcaron de manera fundamental la trayectoria seguida por las matemáticas contemporáneas, y su análisis de los grupos de simetrías que aparecen en las teorías especial y general de la relatividad permitió entender y resolver el problema de la conservación de la energía en la teoría general de la relatividad de Einstein. Sin embargo, a Emmy Noether se le negó durante toda su vida un puesto de trabajo digno en la universidad por la única razón, abiertamente reconocida, de ser mujer. En Alemania, donde creció, se formó y comenzó su labor profesional, no pasó de ser Privatdozent, tutor privado de aquellos alumnos a los que los profesores no querían dar clase. En los Estados Unidos, donde emigró tras la llegada de Hitler al poder, dirigía seminarios e investigaba en el Instituto Princeton, pero debía dar sus clases en el College para señoritas Bryn Mawr.

En 1919, David Hilbert y Felix Klein intentaron, infructuosamente, conseguir un puesto de Privatdozent para Emmy Noether. La objeción formal que se dio fue el sexo de la candidata. «¿Cómo podemos permitir que una mujer sea Privatdozent?»

Podría llegar a ser profesora y miembro del Consejo de la Universidad; «¿es lícito que una mujer sea miembro del Consejo?». Esta objeción motivó la famosa respuesta de Hilbert: «Caballeros, el Consejo no es una casa de baños, así es que no veo por qué una mujer no puede formar parte de él». Mucha imaginación, muchas horas solitarias estudiando matemáticas, y pocas ocasiones para los encuentros privados con el otro sexo entre los veinte y los cuarenta años… ¿No es cómo para que las mujeres les pongan un poco nerviosos?

Entorno familiar y educación de Emmy Noether

Emmy Noether nació en 1882 en la ciudad alemana de Erlangen. Allí fue alumna de Paul Gordan (1837-1912), bajo cuya dirección escribió una tesis sobre la teoría formal de los invariantes computacionales de Gordan, que defendió en 1907. Invitada por Hilbert, en 1916 Noether se trasladó a Göttingen, donde vivió hasta 1933, año en que, forzada a abandonar Alemania (Emmy Noether era judía), aceptó un puesto de docente en la universidad para mujeres Bryn Mawr. Allí vivió el último año y medio de su vida, desplazándose constantemente al Instituto de Altos Estudios de Princeton para impartir seminarios y llevar a cabo su labor de investigación.

Emmy era hija del matemático de renombre Max Noether, amigo de Gordan, y las conversaciones sobre matemáticas entre los dos amigos eran un ingrediente fundamental de la atmósfera de la casa en la que creció, donde estudiar matemáticas no era una obligación, sino una actividad libre y considerada como un placer. De niña Emmy bailaba y tocaba el piano, a los dieciocho años obtuvo los certificados oficiales de profesora de inglés y de francés, y cuando ese mismo año se matriculó en la Universidad de Erlangen (una de las dos mujeres entre los mil estudiantes) eligió cursos de historia y lenguas modernas. En 1904, no se sabe por qué, se cambió a matemáticas. Tomó su decisión libremente, de adulta y sabiendo lo que hacía. Los años de convivencia con su padre le habían dado información más que sobrada sobre lo difíciles que son las matemáticas, el placer que proporcionan, y las muchas horas que requiere el llegar a esos momentos de placer. Por otro lado, antes de optar por las matemáticas estudió otras cosas y siempre llevó una vida muy comprometida políticamente. Ambos datos son importantes: tenía la información y se la dejó elegir.

Es tema de preocupación en nuestra sociedad el que pocas mujeres elijan dedicarse a la investigación matemática (y científica en general). El número de mujeres matemáticas en activo hoy que son hijas, sobrinas o nietas de científicos, es prueba abrumadora de que en este aspecto, Noether no es una excepción. Su caso, entre otros muchos, nos enseña que las mujeres consideran el estudio de las matemáticas como una opción más en su vida si en el entorno familiar en el que crecen las matemáticas, y la ciencia en general, se viven como una actividad más.

group (2) — Emmy Noether en el centro de grupo (1932), Copyright: MFO

Obra de Emmy Noether

En el campo del álgebra y la topología, Noether fue capaz de trasladar las estructuras que a lo largo de los años se habían construido para estudiar la factorización de números enteros, a otros objetos matemáticos, mucho más generales, conectados directamente con el estudio de curvas, superficies y variedades en general, posibilitando con ello a la aritmetización de la geometría y la topología.

[Noether] Estaba inmersa en el proceso de transformar completamente el álgebra, dando prioridad sistemáticamente a los conceptos sobre los cálculos y convirtiendo esta disciplina en lo que años más tarde, gracias al libro de van der Daerden [basado en la notas que el autor tomó en un curso dado por Emmy Noether], se conoció como álgebra moderna. Con respecto al álgebra lineal, concretamente, le liberó de la plaga de matrices y determinantes que venía sufriendo desde hacía más de un siglo, sustituyendo estos cálculos engorrosos y sin significado geométrico por las ideas intrínsecas de módulos y homomorfismos.

Jean Dieudonné, [3], p. 5

Si dejamos aparte la obra de Steinitz sobre los cuerpos, los primeros trabajos importantes en el estudio de los anillos conmutativos generales son las dos grandes memorias de E. Noether sobre la teoría de ideales: la de 1921, dedicada a la descomposición primaria, y la de 1927, caracterizando axiomáticamente los anillos de Dedekind. Con estas memorias de Emmy Noether se completa el largo estudio de la descomposición de los ideales comenzado un siglo antes, al mismo tiempo que se inaugura el álgebra conmutativa.

Nicolas Bourbaki, [2], p. 155.

Si el desarrollo de las matemáticas hoy avanza bajo el signo de la algebraización, la penetración de las ideas y métodos algebraicos en la teorías matemáticas más diversas, esto ha sido posible sólo gracias al trabajo de Emmy Noether. Fue ella quien nos enseñó a pensar en términos de conceptos algebraicos sencillos y generales –homomorfismos, grupos y anillos con operadores, ideales– y no en términos de engorrosos cálculos algebraicos, y de esta manera abrió el camino para encontrar principios algebraicos en lugares donde tales principios habían sido ocultados por alguna situación especial complicada nada adecuada para la estrategia usual de los algebristas clásicos. Teoremas como «el teorema del homomorfismo y el isomorfismo», conceptos como la condición de la cadena ascendente y descendente para subgrupos e ideales, o la noción de grupos con operadores, fueron todos introducidos por Emmy Noether, y han entrado en la práctica diaria de un amplio abanico de disciplinas matemáticas como una herramienta poderosa y de constante utilidad, aún cuando tales disciplinas abarquen temas sin relación con el trabajo de la propia Emmy Noether. Sólo tenemos que echar un vistazo al trabajo de Pontryagin en la teoría de los grupos continuos, al trabajo reciente de Kolmogorov en la topología combinatoria de los espacios localmente bicompactos, al trabajo de Hopf en la teoría de la aplicaciones continuas, por no mencionar el trabajo de van der Waerdenen en geometría algebraica, para sentir la influencia de las ideas de Emmy Noether. Esta influencia es también muy fuerte en el libro de H. Weyl ‘Teoría de grupos y mecánica cuántica’.

Pavel Sergeevich Aleksandroff, [1], p. 3

En 1915, Hilbert invitó a Emmy Noether a formar parte del equipo matemático que estaba formando en la Universidad de Göttingen. En junio y julio de 1915, pocos meses después de la llegada de Noether, Albert Einstein (1879-1955) dio en esta Universidad seis conferencias sobre la teoría general de la relatividad, aún sin terminar. En las teorías clásicas de campo –gravedad newtoniana, electromagnetismo, hidrodinámica, etc.–, la energía se conserva localmente, y lo mismo ocurría en la teoría especial de la relatividad. El principio de la conservación local de la energía solo parecía fallar en la teoría general de la relatividad, y entender el porqué de este problema, al que Hilbert describió como el fallo del teorema de la energía tenía en jaque a muchos de los más reputados matemáticos de la época. Emmy Noether demostró que el llamado fallo no es un fallo, sino que, de hecho, se trata de un rasgo característico de la teoría general, lo cuantificó y explicó porque ocurría: por la naturaleza del grupo de simetrías involucrado.

Algunas conclusiones

No hace falta saber álgebra ni física para deducir de la breve descripción de su obra que acabamos de dar, que la talla matemática de Emmy Noether está muy por encima de la media que encontramos en los profesionales de la matemática de cualquier época. No sólo fundó escuela, sino que hizo cambiar el foco y la estrategia de toda una disciplina.

Noether es una de las grandes y pertenece, de pleno derecho, al grupo de ilustres creadores matemáticos a lo largo de la historia. Lo lógico hubiese sido que la comunidad matemática aprendiese de su caso y la actitud general (esto es, oficial) de tal comunidad respecto a sus miembros mujeres hubiese cambiado. No ha sido así. Ni siquiera en Göttingen y Princeton, dos de los centros emblemáticos de la investigación matemática y modelo a imitar elegido por muchos de los centros universitarios y de investigación europeos, españoles incluidos.

En Alemania, tenemos el ejemplo ilustrativo de Ina Kersten, presidenta de la Sociedad Matemática Alemana desde 1995 hasta 1997, años durante los que estaba sin contrato laboral. El caso de Kersten es significativo, porque pone de manifiesto que, pese a lo mucho que se habla en círculos matemáticos de la injusticia que se cometió con Noether, a la sociedad matemática alemana de finales del siglo XX seguía sin importarle que su representante frente al resto de la sociedad alemana y a la comunidad matemática internacional, fuese una mujer, como Emmy Noether, sin plaza. En Nueva Inglaterra, la situación tampoco ha cambiado mucho desde entonces. En el Instituto de Princeton, encontramos hoy, como en la época de Noether, estudiantes de doctorado que son mujeres y alguna ayudante contratada para dar las clases de los primeros cursos, pero, también como en aquel entonces, ninguna profesora con plaza fija; aunque sí hay mujeres que dan clase en alguna de las universidades privadas femeninas de la zona como Bryn Mawr o Smith College, a la vez que atienden los cursos y seminarios y participan en los equipos de investigación de los departamentos de matemáticas de Princeton, MIT o Harvard; exactamente como hacía Noether.